№ 57 ВПР 5 Геометрія = № 57 ВПТ 9 Математика
Середня лінія ділить трапецію на дві трапеції.
1) Чи подібні між собою трапеції, що утворилися?
2) Чи подібна будь-яка із цих трапецій даній?
Розв’язок:
1) Не подібні. Нехай $a$ і $b$ — основи даної трапеції ($a<b$), $m=\frac{a+b}{2}$ — її середня лінія. Якби трапеції $BCNM$ і $MNDA$ були подібні, то відношення меншої основи до більшої в них було б однаковим: $a\ :m=m\ :b$, тобто $m^{2}=ab$. Але $m^{2}-ab=\left( \frac{a+b}{2} \right)^{2}-ab=\left( \frac{a-b}{2} \right)^{2}>0$, бо $a\neq b$. Отже, $m^{2}\neq ab$, і трапеції не подібні.
2) Не подібна. Якби трапеція $BCNM$ була подібна даній, то відношення меншої основи до більшої в них було б однаковим: $a\ :m=a\ :b$, звідки $m=b$. Але $m=\frac{a+b}{2}<b$. Якби трапеція $MNDA$ була подібна даній, то $m\ :b=a\ :b$, звідки $m=a$. Але $m>a$. Отже, жодна з цих трапецій не подібна даній.
Відповідь:
1) Ні; 2) ні.