№ 66 ВПР 5 Геометрія = № 66 ВПТ 9 Математика
Менша діагональ одного правильного шестикутника дорівнює стороні другого. Знайдіть відношення площ цих шестикутників.
Розв’язок:
Кут правильного шестикутника дорівнює $120^{\circ}$. Менша діагональ $d$ шестикутника зі стороною $a_{1}$ за теоремою косинусів:
$d=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{1}^{2}-2a_{1}^{2}\cos 120^{\circ}}=$
$=\sqrt{2a_{1}^{2}-2a_{1}^{2}\cdot(-0{,}5)}=$
$=\sqrt{3a_{1}^{2}}=a_{1}\sqrt{3}$
За умовою, ця діагональ дорівнює стороні другого шестикутника $a_{2}$:
$a_{2}=a_{1}\sqrt{3}$
Відношення площ подібних фігур дорівнює квадрату коефіцієнта подібності:
$\frac{S_{1}}{S_{2}}=\left( \frac{a_{1}}{a_{2}} \right)^{2}=\left( \frac{a_{1}}{a_{1}\sqrt{3}} \right)^{2}=$
$=\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2}=\frac{1}{3}$
Отже, відношення площ дорівнює $1\ :3$ (або $3\ :1$ залежно від порядку шестикутників).
Відповідь:
$1\ :3$ або $3\ :1$.