№ 70 ВПР 5 Геометрія = № 70 ВПТ 9 Математика
Знайдіть відношення площі трикутника до площі трапеції, яка відтинається від цього трикутника його середньою лінією.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$; $KM$ — середня лінія; $KM=a$, тоді $AC=2a$.
Нехай $h$ — висота $\bigtriangleup ABC$, проведена до сторони $AC$. Тоді висота $\bigtriangleup KBM$, проведена до сторони $KM$, дорівнює $\frac{h}{2}$.
Площа малого трикутника $KBM$:
$S_{KBM}=\frac{1}{2}\cdot KM\cdot\frac{h}{2}=$
$=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{h}{2}=\frac{1}{4}ah$
Площа трапеції $AKMC$:
$S_{AKMC}=S_{ABC}-S_{KBM}=$
$=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h-\frac{1}{4}ah=$
$=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot h-\frac{1}{4}ah=$
$=ah-\frac{1}{4}ah=\frac{3}{4}ah$
Площа всього трикутника $\bigtriangleup ABC$:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot h=$
$=\frac{1}{2}\cdot2a\cdot h=ah$
Знайдемо відношення площі трикутника $ABC$ до площі трапеції $AKMC$:
$S_{ABC}\ :S_{AKMC}=$
$=\frac{ah}{\frac{3}{4}ah}=\frac{4}{3}=4\ :3$
Відповідь:
$4\ :3$.