№ 71 ВПР 5 Геометрія = № 71 ВПТ 9 Математика
Знайдіть відношення площ трикутника і трапеції, на які трикутник ділиться прямою, проведеною через точку перетину медіан паралельно одній з його сторін.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $K$ — точка перетину медіан; $K \in MN$, $MN \parallel AC$.
$\bigtriangleup MBN \sim \bigtriangleup ABC$, їх лінійні розміри відносяться до $2\ :3$ (властивість точки перетину медіан).
Нехай $AC=a$, а висота $\bigtriangleup ABC=h$, тоді:
$MN=\frac{2}{3}a$
$h_{\bigtriangleup MBN}=\frac{2}{3}h$
$h_{\bigtriangleup AMNC}=\frac{1}{3}h$
$S_{\bigtriangleup MBN}=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot h_{\bigtriangleup MBN}=$
$=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}a\cdot\frac{2}{3}h=\frac{2}{9}ah$
$S_{AMNC}=\frac{\frac{2}{3}a+a}{2}\cdot\frac{1}{3}h=\frac{5}{18}ah$
$S_{\bigtriangleup}\ :S_{\text{трап}}=\frac{\frac{2}{9}ah}{\frac{5}{18}ah}=$
$=\frac{2}{9}\cdot\frac{18}{5}=\frac{4}{5}=4\ :5$