№ 72 ВПР 5 Геометрія = № 72 ВПТ 9 Математика
Медіана трикутника дорівнює $10$ см. Пряма, паралельна медіані, ділить трикутник на частини, площі яких відносяться як $1\ :7$. Знайдіть довжину відрізка цієї прямої, що міститься між сторонами трикутника.
Розв’язок:
У $\bigtriangleup ABC$: $BK$ — медіана; $MN \parallel BK$.
$S_{\bigtriangleup ABK}=\frac{1}{2}S_{\bigtriangleup ABC}$ (висоти рівні, відношення основ $AK\ :AC=1\ :2$).
$S_{\bigtriangleup AMN}\ :S_{NMBC}=1\ :7$, тоді $S_{\bigtriangleup AMN}\ :S_{\bigtriangleup ABC}=1\ :8$, а $S_{\bigtriangleup AMN}\ :S_{\bigtriangleup ABK}=\frac{1}{4}$.
$\bigtriangleup AMN \sim \bigtriangleup ABK$ (за ознакою подібності трикутників, оскільки $MN \parallel BK$).
Оскільки відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності, то коефіцієнт подібності $k=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$.
Отже, відношення лінійних розмірів дорівнює $\frac{1}{2}$:
$MN=\frac{1}{2}BK=\frac{1}{2}\cdot10=5\text{ (см)}$.
Відповідь:
$5$ см.