№ 26.14 Геометрія = № 52.14 Математика
Прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні. Знайдіть довжину відрізка $BC$, якщо:
1) $AD=6$ см, $DC=14$ см, $AB=3$ см;
2) $BD=4{,}5$ см, $CD=8$ см, $AB=2{,}5$ см.
Розв’язок:
Оскільки прямі $AB$, $AC$ і $AD$ попарно перпендикулярні, то $\bigtriangleup ADC$, $\bigtriangleup ADB$ та $\bigtriangleup ABC$ — прямокутні з прямим кутом при вершині $A$. За теоремою Піфагора для $\bigtriangleup ADC$: $AC^{2}=DC^{2}-AD^{2}$. Тоді $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=$
$=AB^{2}+DC^{2}-AD^{2}$.
1) $BC^{2}=3^{2}+14^{2}-6^{2}=$
$=9+196-36=169$.
$BC=\sqrt{169}=13$ (см).
2) Спочатку знайдемо $AD$ з $\bigtriangleup ADB$: $AD^{2}=BD^{2}-AB^{2}=$
$=4{,}5^{2}-2{,}5^{2}=20{,}25-6{,}25=14$.
Тепер знайдемо $AC$ з $\bigtriangleup ADC$: $AC^{2}=CD^{2}-AD^{2}=$
$=8^{2}-14=64-14=50$.
Знайдемо $BC$ з $\bigtriangleup ABC$: $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=$
$=2{,}5^{2}+50=6{,}25+50=56{,}25$.
$BC=\sqrt{56{,}25}=7{,}5$ (см).
Відповідь:
1) $13$ см;
2) $7{,}5$ см.