№ 26.18 Геометрія = № 52.18 Математика
Скільки різних прямих визначають усі пари вершин куба?
Розв’язок:
Куб має $8$ вершин. Пряма визначається будь-якою парою точок. Кількість способів вибрати $2$ точки з $8$ визначається числом комбінацій $C_{n}^{k}$:
$C_{8}^{2}=\frac{8\cdot7}{1\cdot2}=28$
Однак, деякі пари вершин лежать на одній прямій. У кубі є:
1) $12$ ребер (кожне ребро — це пряма, що містить $2$ вершини);
2) $6$ граней, у кожній грані є $2$ діагоналі (всього $12$ діагоналей граней);
3) $4$ просторові діагоналі куба.
Усі ці $28$ пар вершин утворюють різні прямі, оскільки жодні три вершини куба не лежать на одній прямій (крім випадків, коли вони утворюють ребро або діагональ, але кожна така пряма містить рівно $2$ вершини, що є кінцями відрізка).
Отже, всього існує $28$ різних прямих.
Відповідь:
$28$.