№ 26.18 Геометрія = № 52.18 Математика
Скільки різних прямих визначають усі пари вершин куба?
Розв’язок:
Куб має $8$ вершин. Пряма визначається будь-якою парою точок. Кожну з $8$ вершин можна сполучити з $7$ іншими: $8\cdot7=56$. При цьому кожну пару вершин пораховано двічі, тому пар вершин $56:2=28$.
Ці $28$ пар вершин — це:
1) $12$ ребер (кожне ребро — це пряма, що містить $2$ вершини);
2) $6$ граней, у кожній грані є $2$ діагоналі (всього $12$ діагоналей граней);
3) $4$ просторові діагоналі куба.
Разом $12+12+4=28$. Жодні три вершини куба не лежать на одній прямій: на прямій, що містить ребро, діагональ грані чи діагональ куба, лежать рівно дві вершини. Тому різні пари вершин визначають різні прямі.
Отже, всього існує $28$ різних прямих.
Відповідь:
$28$.