№ 26.20 Геометрія = № 52.20 Математика
Кут, утворений медіаною і висотою, проведеними з вершини прямого кута прямокутного трикутника, дорівнює $\alpha$. Знайдіть катети трикутника, якщо його гіпотенуза дорівнює $c$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABC$ — прямокутний.
$CM$ — медіана, $CN \perp AB$.
$CM=\frac{1}{2}AB=MA=MB$ (за властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи).
$\bigtriangleup CMN$: $\angle CMN=90^{\circ}-\alpha$. Це зовнішній кут рівнобедреного трикутника $AMC$.
Звідси $\angle A=\frac{90^{\circ}-\alpha}{2}=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$, тоді $\angle B=90^{\circ}-(45^{\circ}-\frac{\alpha}{2})=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$.
$\bigtriangleup ABC$: $AC=AB\cdot\sin\angle B$; $BC=AB\cdot\cos\angle B$.
$AC=c\sin(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})$; $BC=c\cos(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2})$.
Відповідь:
$AC=c\sin\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$, $BC=c\cos\left( 45^{\circ}+\frac{\alpha}{2} \right)$.