№ 27.11 Геометрія = № 53.11 Математика
З точки до площини проведено дві похилі, довжини яких дорівнюють $5$ см і $7$ см, а різниця проєкцій похилих — $4$ см. Знайдіть проєкції похилих та відстань від цієї точки до площини.
Розв’язок:
Нехай $h$ — відстань від точки до площини, $x_{1}$ та $x_{2}$ — проєкції похилих довжиною $5$ см і $7$ см відповідно.
За теоремою Піфагора для двох прямокутних трикутників, утворених перпендикуляром, похилими та їхніми проєкціями:
$h^{2}+x_{1}^{2}=5^{2}=25$
$h^{2}+x_{2}^{2}=7^{2}=49$
За умовою різниця проєкцій дорівнює $4$ см, тобто $x_{2}-x_{1}=4$.
Віднімемо перше рівняння від другого:
$(h^{2}+x_{2}^{2})-(h^{2}+x_{1}^{2})=49-25$
$x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=24$
$(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})=24$
Оскільки $x_{2}-x_{1}=4$, маємо:
$4(x_{2}+x_{1})=24$
$x_{2}+x_{1}=6$
Маємо систему рівнянь:
$x_{2}-x_{1}=4$
$x_{2}+x_{1}=6$
Додавши рівняння, отримаємо $2x_{2}=10$, звідки $x_{2}=5$ (см).
Тоді $x_{1}=6-5=1$ (см).
Знайдемо відстань $h$:
$h^{2}=25-x_{1}^{2}=25-1^{2}=24$
$h=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$ (см).
Відповідь:
Проєкції похилих: $1$ см і $5$ см; відстань від точки до площини: $2\sqrt{6}$ см.