№ 27.12 Геометрія = № 53.12 Математика
З точки до площини проведено дві похилі, сума довжин яких дорівнює $24$ см. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до площини, якщо проєкції цих похилих дорівнюють $10$ см і $2$ см.
Розв’язок:
Нехай $x$ см і $y$ см — довжини похилих, а $h$ см — відстань від точки до площини (довжина перпендикуляра).
За умовою:
$x+y=24$, звідки $x=24-y$.
За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників, утворених перпендикуляром, похилими та їхніми проєкціями:
$x^{2}=h^{2}+10^{2}$
$y^{2}=h^{2}+2^{2}$
Виразимо $h^{2}$ з обох рівнянь:
$h^{2}=x^{2}-100$
$h^{2}=y^{2}-4$
Прирівняємо вирази для $h^{2}$:
$x^{2}-100=y^{2}-4$
$x^{2}-y^{2}=96$
Підставимо $x=24-y$:
$(24-y)^{2}-y^{2}=96$
$576-48y+y^{2}-y^{2}=96$
$576-48y=96$
$48y=480$
$y=10$
Тоді:
$x=24-10=14$
Знайдемо відстань $h$:
$h^{2}=10^{2}-4=100-4=96$
$h=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$ (см)
Відповідь:
$14$ см, $10$ см, $4\sqrt{6}$ см.