№ 27.16 Геометрія = № 53.16 Математика
Вершини $M,N$ і $K$ квадрата $MNKL$ розміщені від площини $\beta$, яка не перетинає площину квадрата, відповідно на відстанях $1$ см, $4$ см і $9$ см. На яких відстанях від площини розміщені точка перетину діагоналей квадрата і вершина $L$?
Розв’язок:
Усі вершини квадрата $MNKL$ лежать по один бік від площини $\beta$, тому відстань від точки до площини $\beta$ є лінійною (афінною) функцією положення точки у площині квадрата.
Нехай $d(P)$ — відстань від точки $P$ до площини $\beta$. Для будь-якого паралелограма (зокрема квадрата) $MNKL$ виконується співвідношення:
$d(M)+d(K)=d(N)+d(L)$
Підставимо відомі значення:
$1+9=4+d(L)$
$10=4+d(L)$
$d(L)=6\text{ (см)}$
Точка $O$ — перетин діагоналей квадрата, вона є серединою діагоналей $MK$ та $NL$. Відстань від середини відрізка до паралельної площини дорівнює середньому арифметичному відстаней від його кінців:
$d(O)=\frac{d(M)+d(K)}{2}=$
$=\frac{1+9}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ (см)}$
Відповідь:
Відстань до точки перетину діагоналей дорівнює $5$ см, до вершини $L$ — $6$ см.