№ 27.7 Геометрія = № 53.7 Математика
Прямі $a$ і $b$ — паралельні. Пряма $a$ перетинає площину $\alpha$. Яке взаємне розміщення прямої $b$ і площини $\alpha$?
Розв’язок:
Пряма $b$ також перетинає площину $\alpha$.
Обґрунтування:
Паралельні прямі $a$ і $b$ лежать в одній площині $\beta$. Пряма $a$ перетинає площину $\alpha$ у точці $P$, тому площини $\alpha$ і $\beta$ різні й мають спільну точку $P$. Отже, вони перетинаються по прямій $c$, що проходить через точку $P$.
Пряма $c$ не збігається з прямою $a$, бо $a$ не лежить у площині $\alpha$. У площині $\beta$ пряма $c$ перетинає пряму $a$, тому перетинає і паралельну їй пряму $b$ у деякій точці $Q$. Точка $Q$ лежить на прямій $c$, тобто в площині $\alpha$.
Пряма $b$ не може лежати в площині $\alpha$: інакше площина $\alpha$ містила б пряму $b$ і точку $P$, що не лежить на $b$, тобто збігалася б із площиною $\beta$, і пряма $a$ лежала б у площині $\alpha$.
Отже, пряма $b$ має з площиною $\alpha$ спільну точку $Q$ і не лежить у ній, тобто перетинає площину $\alpha$.
Відповідь:
Пряма $b$ перетинає площину $\alpha$.