№ 28.12 Геометрія = № 54.12 Математика
Кінець $B$ відрізка $BC$ належить площині $\beta$, а кінець $C$ — площині $\gamma$. Площини $\beta$ і $\gamma$ паралельні, $BC=10$ см. Чи може відстань від точки $B$ до площини $\gamma$ дорівнювати:
1) $11$ см;
2) $10$ см;
3) $9{,}5$ см;
4) $9$ см?
Розв’язок:
Нехай $d$ — відстань від точки $B$ до площини $\gamma$. Ця відстань є довжиною перпендикуляра $BB_{1}$, опущеного з точки $B$ на площину $\gamma$ ($B_{1} \in \gamma$).
Розглянемо прямокутний трикутник $BB_{1}C$ (де $\angle BB_{1}C=90^{\circ}$). У цьому трикутнику $BC$ є гіпотенузою, а $BB_{1}$ — катетом.
За властивістю прямокутного трикутника, катет завжди менший або дорівнює гіпотенузі:
$BB_{1}\leq BC$
Оскільки $BC=10$ см, то $d\leq10$ см. Також $d>0$, оскільки точка $B$ не належить площині $\gamma$.
Отже, відстань $d$ може набувати будь-якого значення з проміжку $(0;10\rbrack$.
Аналізуємо варіанти:
1) $11$ см — не може, бо $11>10$;
2) $10$ см — може (якщо $BC \perp \gamma$);
3) $9{,}5$ см — може;
4) $9$ см — може.
Відповідь:
Може дорівнювати $10$ см, $9{,}5$ см, $9$ см. Не може дорівнювати $11$ см.