№ 28.17 Геометрія = № 54.17 Математика
Доведіть, що дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні.
Розв’язок:
Нехай $\alpha$ і $\beta$ — дві площини, перпендикулярні до прямої $a$ ($\alpha \perp a$ та $\beta \perp a$).
Припустимо, що площини $\alpha$ та $\beta$ не паралельні. Тоді вони мають спільну точку $K$.
Проведемо з точки $K$ перпендикуляр до прямої $a$, який лежить у площині $\alpha$, і перпендикуляр до прямої $a$, який лежить у площині $\beta$. Оскільки $\alpha \perp a$ і $\beta \perp a$, такі перпендикуляри існують; вони лежать у різних площинах, тому є різними.
Отже, з однієї точки $K$ проведено два різні перпендикуляри до прямої $a$, що неможливо: з точки до прямої можна провести лише один перпендикуляр.
Дістали суперечність, тому припущення хибне, і площини $\alpha$ та $\beta$ паралельні.
Що й треба було довести.