№ 28.19 Геометрія = № 28.19 Математика
У трапеції $ABCD$ $AD$ і $BC$ — основи, кути $A$ і $D$ — гострі. Бісектриси кутів $A$ і $D$ перетинаються в точці $K$, що належить стороні $BC$, $AK=\sqrt{5}$ см, $KD=\sqrt{10}$ см. Знайдіть периметр трапеції, якщо її висота дорівнює $1$ см.
Розв’язок:
Оскільки $AD \parallel BC$, то $\angle KAD=\angle AKB$ (як внутрішні різносторонні кути).
За умовою $AK$ — бісектриса, тому $\angle BAK=\angle KAD$.
Отже, $\angle BAK=\angle AKB$, що означає, що $\bigtriangleup ABK$ — рівнобедрений з основою $AK$, тому $AB=BK$.
Аналогічно, $\angle KDA=\angle DKC$ (як внутрішні різносторонні кути).
Оскільки $DK$ — бісектриса, то $\angle CDK=\angle KDA$.
Отже, $\angle CDK=\angle DKC$, що означає, що $\bigtriangleup DCK$ — рівнобедрений з основою $KD$, тому $CD=CK$.
Проведемо висоту $h=1$ з точки $K$ до основи $AD$. Нехай $H$ — основа висоти.
У прямокутному трикутнику $AKH$:
$AH=\sqrt{AK^{2}-h^{2}}=$
$=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}-1^{2}}=\sqrt{5-1}=2$ (см).
У прямокутному трикутнику $DKH$:
$HD=\sqrt{KD^{2}-h^{2}}=$
$=\sqrt{(\sqrt{10})^{2}-1^{2}}=\sqrt{10-1}=3$ (см).
Тоді $AD=AH+HD=2+3=5$ (см).
Знайдемо $\cos\angle KAD$ та $\cos\angle KDA$:
$cos\angle KAD=\frac{AH}{AK}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
$cos\angle KDA=\frac{HD}{KD}=\frac{3}{\sqrt{10}}$
У рівнобедреному трикутнику $ABK$ (де $AB=BK$):
$AB=\frac{AK}{2\cos\angle BAK}=$
$=\frac{\sqrt{5}}{2\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{5}{4}=1{,}25$ (см).
Отже, $BK=1{,}25$ (см).
У рівнобедреному трикутнику $DCK$ (де $CD=CK$):
$CD=\frac{KD}{2\cos\angle CDK}=$
$=\frac{\sqrt{10}}{2\cdot\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$ (см).
Отже, $CK=\frac{5}{3}$ (см).
Основа $BC=BK+CK=$
$=1{,}25+\frac{5}{3}=\frac{5}{4}+\frac{5}{3}=$
$=\frac{15+20}{12}=\frac{35}{12}$ (см).
Периметр трапеції $P=AB+BC+CD+AD$:
$P=1{,}25+\frac{35}{12}+\frac{5}{3}+5=$
$=\frac{5}{4}+\frac{35}{12}+\frac{20}{12}+5=$
$=\frac{15+35+20}{12}+5=\frac{70}{12}+5=$
$=\frac{35}{6}+5=5\frac{5}{6}+5=10\frac{5}{6}$ (см).
Відповідь:
$10\frac{5}{6}$ см.