№ 29.12 Геометрія = № 55.12 Математика
У прямій трикутній призмі всі ребра рівні. Площа її бічної поверхні дорівнює $108$ см$^{2}$. Знайдіть об’єм призми.
Розв’язок:
Нехай $a$ — довжина ребра призми. Оскільки призма пряма і всі її ребра рівні, то основою призми є рівносторонній трикутник зі стороною $a$, а висота призми $h=a$.
Площа бічної поверхні призми обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h$
Периметр основи $P_{\text{осн}}=3a$. Тоді:
$S_{\text{біч}}=3a\cdot a=3a^{2}$
За умовою $S_{\text{біч}}=108$ см$^{2}$, отже:
$3a^{2}=108$
$a^{2}=36$
$a=6\text{ (см)}$
Площа основи призми (рівностороннього трикутника):
$S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Об’єм призми:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h=$
$=9\sqrt{3}\cdot6=54\sqrt{3}\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$54\sqrt{3}$ см$^{3}$.