№ 29.13 Геометрія = № 55.13 Математика
У прямій чотирикутної призми всі ребра рівні. Площа її бічної поверхні дорівнює $256$ см$^{2}$. Знайдіть об’єм призми, якщо один з гострих кутів основи дорівнює $30^{\circ}$.
Розв’язок:
Нехай сторона основи призми дорівнює $a$. Оскільки призма пряма і всі її ребра рівні, то висота призми $h=a$.
Основою призми є ромб зі стороною $a$ (оскільки всі сторони основи рівні).
Площа бічної поверхні призми обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=P_{\text{осн}}\cdot h$
Периметр основи $P_{\text{осн}}=4a$. Тоді:
$S_{\text{біч}}=4a\cdot a=4a^{2}$
За умовою $S_{\text{біч}}=256$ см$^{2}$:
$4a^{2}=256$
$a^{2}=64$
$a=8\text{ (см)}$
Отже, сторона основи $a=8$ см, висота призми $h=8$ см.
Площа основи (ромба) з гострим кутом $30^{\circ}$:
$S_{\text{осн}}=a^{2}\cdot\sin 30^{\circ}=$
$=8^{2}\cdot0{,}5=64\cdot0{,}5=32\text{ (см}^{2}\text{)}$
Об’єм призми:
$V=S_{\text{осн}}\cdot h=32\cdot8=256\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$256$ см$^{3}$.