№ 30.10 Геометрія = № 56.10 Математика
У правильній чотирикутній піраміді (див. мал. 30.3) $\angle AQB=60^{\circ}$, $AQ=b$. Знайдіть:
1) бічну поверхню піраміди;
2) повну поверхню піраміди.
Розв’язок:
Оскільки піраміда правильна, її основою є квадрат, а бічні ребра рівні.
За умовою $AQ=BQ=b$.
У трикутнику $AQB$ сторони $AQ$ і $BQ$ рівні, а кут між ними $\angle AQB=60^{\circ}$. Отже, $\bigtriangleup AQB$ — рівносторонній.
Тоді сторона основи піраміди $AB=AQ=b$.
1) Бічна поверхня піраміди складається з чотирьох рівних рівносторонніх трикутників зі стороною $b$.
Площа одного такого трикутника:
$S_{\text{гр}}=\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}$
Бічна поверхня:
$S_{\text{біч}}=4\cdot S_{\text{гр}}=$
$=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}b^{2}=\sqrt{3}b^{2}$
2) Повна поверхня піраміди дорівнює сумі бічної поверхні та площі основи.
Площа основи (квадрата зі стороною $b$):
$S_{\text{осн}}=b^{2}$
Повна поверхня:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}=$
$=\sqrt{3}b^{2}+b^{2}=b^{2}(\sqrt{3}+1)$
Відповідь:
1) $\sqrt{3}b^{2}$;
2) $b^{2}(\sqrt{3}+1)$.