№ 30.11 Геометрія = № 56.11 Математика
Основою чотирикутної піраміди є прямокутник зі сторонами $12$ см і $16$ см. Усі бічні ребра піраміди дорівнюють $26$ см.
1) Доведіть, що основою висоти піраміди є точка перетину діагоналей основи.
2) Знайдіть об’єм піраміди.
Розв’язок:
1) Нехай $SABCD$ — дана піраміда, де $ABCD$ — прямокутник, $SA=SB=SC=SD=26$ см. Нехай $SO$ — висота піраміди, де $O$ — проекція вершини $S$ на площину основи.
Розглянемо прямокутні трикутники $\bigtriangleup SOA$, $\bigtriangleup SOB$, $\bigtriangleup SOC$ і $\bigtriangleup SOD$. Вони мають спільний катет $SO$. Оскільки гіпотенузи $SA,SB,SC,SD$ рівні (за умовою), то ці трикутники рівні за катетом і гіпотенузою.
З рівності трикутників випливає, що $OA=OB=OC=OD$. У прямокутнику точка, рівновіддалена від усіх його вершин, є точкою перетину діагоналей. Отже, $O$ — точка перетину діагоналей $AC$ і $BD$.
Що й треба було довести.
2) Знайдемо діагональ основи $AC$:
$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=$
$=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=$
$=\sqrt{400}=20\text{ (см)}$
Оскільки $O$ — точка перетину діагоналей, то $OA=\frac{1}{2}AC=\frac{20}{2}=10$ см.
З прямокутного трикутника $\bigtriangleup SOA$ знайдемо висоту піраміди $SO$:
$SO=\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}=$
$=\sqrt{26^{2}-10^{2}}=\sqrt{676-100}=$
$=\sqrt{576}=24\text{ (см)}$
Площа основи піраміди:
$S_{\text{осн}}=AB\cdot BC=12\cdot16=192\text{ (см}^{2}\text{)}$
Об’єм піраміди:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot SO=$
$=\frac{1}{3}\cdot192\cdot24=$
$=192\cdot8=1536\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$1536$ см$^{3}$.