№ 30.9 Геометрія = № 56.9 Математика
У правильній трикутній піраміді (див. мал. 30.2) кут $\angle AQB=90^{\circ}$, $AQ=a$. Знайдіть:
1) бічну поверхню піраміди;
2) повну поверхню піраміди.
Розв’язок:
У правильній піраміді всі бічні ребра рівні, отже $AQ=BQ=CQ=a$.
1) Бічна поверхня піраміди складається з трьох рівних трикутників: $\bigtriangleup QAB$, $\bigtriangleup QBC$ та $\bigtriangleup QCA$.
Оскільки $\angle AQB=90^{\circ}$ і $AQ=BQ=a$, то площа одного бічного трикутника:
$S_{\text{біч.гр}}=\frac{1}{2}\cdot AQ\cdot BQ=$
$=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a=\frac{a^{2}}{2}$.
Бічна поверхня піраміди:
$S_{\text{біч}}=3\cdot S_{\text{біч.гр}}=3\cdot\frac{a^{2}}{2}=1{,}5a^{2}$.
2) Знайдемо сторону основи $AB$ з прямокутного трикутника $AQB$ за теоремою Піфагора:
$AB^{2}=AQ^{2}+BQ^{2}=$
$=a^{2}+a^{2}=2a^{2}$
$AB=a\sqrt{2}$.
Основа піраміди — рівносторонній трикутник зі стороною $s=a\sqrt{2}$. Його площа:
$S_{\text{осн}}=\frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{(a\sqrt{2})^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{2a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}$.
Повна поверхня піраміди:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{біч}}+S_{\text{осн}}=$
$=\frac{3a^{2}}{2}+\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{2}(3+\sqrt{3})}{2}$.
Відповідь:
1) $1{,}5a^{2}$;
2) $\frac{a^{2}(3+\sqrt{3})}{2}$.