№ 30.12 Геометрія = № 56.12 Математика
Бічне ребро правильної трикутної піраміди дорівнює $5$ см, а висота — $4$ см. Знайдіть об’єм піраміди.
Розв’язок:
Нехай $l=5$ см — бічне ребро, $H=4$ см — висота піраміди, $R$ — радіус кола, описаного навколо основи.
У прямокутному трикутнику, утвореному висотою піраміди, бічним ребром та радіусом описаного кола основи:
$R^{2}+H^{2}=l^{2}$
$R^{2}+4^{2}=5^{2}$
$R^{2}=25-16=9$
$R=3$ (см).
Для правильного трикутника зі стороною $a$ радіус описаного кола $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$, звідки $a=R\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ (см).
Площа основи піраміди:
$S_{\text{осн}}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=$
$=\frac{(3\sqrt{3})^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{27\sqrt{3}}{4}$ (см$^{2}$).
Об’єм піраміди:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot H=$
$=\frac{1}{3}\cdot\frac{27\sqrt{3}}{4}\cdot4=9\sqrt{3}$ (см$^{3}$).
Відповідь:
$9\sqrt{3}$ см$^{3}$.