№ 31.11 Геометрія = № 57.11 Математика
Навколо якої сторони треба обертати прямокутник зі сторонами $a=4$ см і $b=6$ см, щоб утворився циліндр з: 1) більшою бічною поверхнею; 2) більшою повною поверхнею; 3) більшим об’ємом?
Розв’язок:
Розглянемо два випадки обертання прямокутника:
1) Обертання навколо сторони $a=4$ см.
Тоді радіус циліндра $r=6$ см, а висота $h=4$ см.
$S_{\text{біч}}=2\pi rh=2\pi\cdot6\cdot4=48\pi$ (см$^{2}$).
$S_{\text{повн}}=2\pi r(r+h)=$
$=2\pi\cdot6\cdot(6+4)=12\pi\cdot10=120\pi$ (см$^{2}$).
$V=\pi r^{2}h=\pi\cdot6^{2}\cdot4=$
$=36\cdot4\cdot\pi=144\pi$ (см$^{3}$).
2) Обертання навколо сторони $b=6$ см.
Тоді радіус циліндра $r=4$ см, а висота $h=6$ см.
$S_{\text{біч}}=2\pi rh=$
$=2\pi\cdot4\cdot6=48\pi$ (см$^{2}$).
$S_{\text{повн}}=2\pi r(r+h)=$
$=2\pi\cdot4\cdot(4+6)=$
$=8\pi\cdot10=80\pi$ (см$^{2}$).
$V=\pi r^{2}h=\pi\cdot4^{2}\cdot6=$
$=16\cdot6\cdot\pi=96\pi$ (см$^{3}$).
Порівняємо результати:
1) Бічні поверхні рівні ($48\pi=48\pi$), тому вибір сторони не впливає на бічну поверхню.
2) $120\pi>80\pi$, отже, для отримання більшої повної поверхні треба обертати навколо сторони $a=4$ см.
3) $144\pi>96\pi$, отже, для отримання більшого об’єму треба обертати навколо сторони $a=4$ см.
Відповідь:
1) Не має значення;
2) навколо сторони $4$ см;
3) навколо сторони $4$ см.