№ 31.15 Геометрія = № 57.15 Математика
Два кути одного трикутника дорівнюють відповідно двом кутам другого трикутника. Сторони першого трикутника відносяться як $3\ :4\ :5$. Знайдіть сторони та площу другого трикутника, якщо його периметр дорівнює $60$ см.
Розв’язок:
Оскільки два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого, то ці трикутники подібні (за першою ознакою подібності трикутників).
Отже, сторони другого трикутника також відносяться як $3\ :4\ :5$.
Нехай сторони другого трикутника дорівнюють $3x$, $4x$ та $5x$.
Периметр другого трикутника:
$3x+4x+5x=60$
$12x=60$
$x=5\text{ (см)}$
Тоді сторони другого трикутника дорівнюють:
$3\cdot5=15$ (см), $4\cdot5=20$ (см), $5\cdot5=25$ (см).
Оскільки сторони відносяться як $3\ :4\ :5$, то цей трикутник є прямокутним (за теоремою, оберненою до теореми Піфагора, оскільки $15^{2}+20^{2}=225+400=625=25^{2}$).
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку його катетів:
$S=\frac{1}{2}\cdot15\cdot20=150\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
Сторони: $15$ см, $20$ см, $25$ см; площа: $150$ см$^{2}$.