№ 31.16 Геометрія = № 57.16 Математика
Медіани трикутника, довжини яких становлять $15$ см і $18$ см, взаємно перпендикулярні. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
Нехай $AA_{1}$ і $BB_{1}$ — медіани трикутника $ABC$, які перетинаються в точці $O$. За умовою $AA_{1}=15$ см, $BB_{1}=18$ см, $AA_{1} \perp BB_{1}$.
Точка перетину медіан ділить кожну з них у відношенні $2\ :1$, рахуючи від вершини:
$AO=\frac{2}{3}AA_{1}=\frac{2}{3}\cdot15=10$ (см);
$BO=\frac{2}{3}BB_{1}=\frac{2}{3}\cdot18=12$ (см).
Оскільки $AA_{1} \perp BB_{1}$, то $\bigtriangleup AOB$ — прямокутний з катетами $AO$ і $BO$. Його площа:
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{2}\cdot AO\cdot BO=$
$=\frac{1}{2}\cdot10\cdot12=60$ (см$^{2}$).
Усі три медіани трикутника розбивають його на $6$ трикутників однакової площі. Трикутник $AOB$ складається з двох таких, тому
$S_{\bigtriangleup AOB}=\frac{1}{3}S_{\bigtriangleup ABC}$.
Звідси:
$S_{\bigtriangleup ABC}=3\cdot S_{\bigtriangleup AOB}=3\cdot60=180$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$180$ см$^{2}$.