№ 32.11 Геометрія = № 58.11 Математика
Свинцевий конус, радіус основи якого дорівнює $15$ см, переплавили у циліндр із такою самою висотою. Знайдіть радіус основи циліндра.
Розв’язок:
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V_{\text{кон}}=\frac{1}{3}\pi R_{\text{кон}}^{2}H$
Об’єм циліндра обчислюється за формулою:
$V_{\text{цил}}=\pi R_{\text{цил}}^{2}H$
Оскільки конус переплавили у циліндр, їхні об’єми рівні ($V_{\text{кон}}=V_{\text{цил}}$), а висоти за умовою однакові ($H_{\text{кон}}=H_{\text{цил}}=H$):
$\frac{1}{3}\pi R_{\text{кон}}^{2}H=\pi R_{\text{цил}}^{2}H$
Скоротимо обидві частини рівняння на $\pi H$:
$\frac{1}{3}R_{\text{кон}}^{2}=R_{\text{цил}}^{2}$
Підставимо значення $R_{\text{кон}}=15$ см:
$R_{\text{цил}}^{2}=\frac{1}{3}\cdot15^{2}=\frac{225}{3}=75$
$R_{\text{цил}}=\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\text{ (см)}$
Відповідь:
$5\sqrt{3}$ см.