№ 32.13 Геометрія = № 58.13 Математика
Об’єм конуса дорівнює $240\pi$ см$^{3}$. Знайдіть повну поверхню конуса, якщо його висота дорівнює $5$ см.
Розв’язок:
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
Підставимо відомі значення ($V=240\pi$, $h=5$):
$240\pi=\frac{1}{3}\pi r^{2}\cdot5$
$240=\frac{5}{3}r^{2}$
$r^{2}=240\cdot\frac{3}{5}=144$
$r=12\text{ (см)}$
Твірна конуса $l$ утворює прямокутний трикутник з висотою $h$ та радіусом $r$. За теоремою Піфагора:
$l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=$
$=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\text{ (см)}$
Площа повної поверхні конуса дорівнює сумі площі бічної поверхні та площі основи:
$S_{\text{пов}}=\pi rl+\pi r^{2}=\pi r(l+r)$
$S_{\text{пов}}=\pi\cdot12\cdot(13+12)=$
$=\pi\cdot12\cdot25=300\pi\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$300\pi$ см$^{2}$.