№ 32.14 Геометрія = № 58.14 Математика
Бічна поверхня конуса дорівнює $369\pi$ см$^{2}$. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює $41$ см.
Розв’язок:
Площа бічної поверхні конуса обчислюється за формулою:
$S_{\text{біч}}=\pi rl$
де $r$ — радіус основи, $l$ — твірна.
Підставимо відомі значення:
$369\pi=\pi\cdot r\cdot41$
$r=\frac{369}{41}=9\text{ (см)}$
Висоту конуса $h$ знайдемо з прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом і твірною (за теоремою Піфагора):
$h^{2}+r^{2}=l^{2}$
$h^{2}+9^{2}=41^{2}$
$h^{2}+81=1681$
$h^{2}=1600$
$h=40\text{ (см)}$
Об’єм конуса обчислюється за формулою:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
$V=\frac{1}{3}\pi\cdot9^{2}\cdot40=$
$=\frac{1}{3}\pi\cdot81\cdot40=$
$=27\cdot40\cdot\pi=1080\pi\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$1080\pi$ см$^{3}$.