№ 32.15 Геометрія = № 58.15 Математика
Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює $45^{\circ}$, $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=1$. Знайдіть:
1) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$;
2) $\overrightarrow{a}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$;
3) $\overrightarrow{b}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$;
4) $\overrightarrow{a}(2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b})$.
Розв’язок:
Спочатку знайдемо скалярний добуток векторів $\overrightarrow{a}$ та $\overrightarrow{b}$:
$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot\left| \overrightarrow{b} \right|\cdot cos45^{\circ}=$
$=2\cdot1\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$
1) $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\sqrt{2}$
2) $\overrightarrow{a}\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)={\overrightarrow{a}}^{2}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=$
$=|\overrightarrow{a}|^{2}+\sqrt{2}=2^{2}+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$
3) $\overrightarrow{b}\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}-{\overrightarrow{b}}^{2}=$
$=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-|\overrightarrow{b}|^{2}=\sqrt{2}-1^{2}=\sqrt{2}-1$
4) $\overrightarrow{a}\left( 2\overrightarrow{a}+5\overrightarrow{b} \right)=2{\overrightarrow{a}}^{2}+5\left( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b} \right)=$
$=2\cdot|\overrightarrow{a}|^{2}+5\sqrt{2}=$
$=2\cdot4+5\sqrt{2}=8+5\sqrt{2}$
Відповідь:
1) $\sqrt{2}$;
2) $4+\sqrt{2}$;
3) $\sqrt{2}-1$;
4) $8+5\sqrt{2}$.