№ 32.16 Геометрія = № 58.16 Математика
Радіуси описаного і вписаного у прямокутний трикутник кіл відповідно дорівнюють $5$ см і $2$ см. Знайдіть площу трикутника.
Розв’язок:
Нехай $a$ і $b$ — катети, $c$ — гіпотенуза прямокутного трикутника.
Радіус описаного кола $R=\frac{c}{2}$, звідси:
$c=2R=2\cdot5=10$ (см).
Радіус вписаного кола $r=\frac{a+b-c}{2}$, звідси:
$a+b=2r+c=$
$=2\cdot2+10=14$ (см).
За теоремою Піфагора:
$a^{2}+b^{2}=c^{2}=10^{2}=100$.
Використаємо формулу квадрата суми:
$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab$
$14^{2}=100+2ab$
$196=100+2ab$
$2ab=96$
$ab=48$.
Площа прямокутного трикутника $S=\frac{1}{2}ab$:
$S=\frac{1}{2}\cdot48=24$ (см$^{2}$).
Відповідь:
$24$ см$^{2}$.