№ 33.14 Геометрія = № 59.14 Математика
Із точки кола до діаметра проведено перпендикуляр, який ділить його на відрізки у відношенні $4\ :9$. Знайдіть площу круга, обмеженого цим колом, якщо довжина перпендикуляра дорівнює $12$ см.
Розв’язок:
Нехай $AB$ — діаметр кола, $C$ — точка на колі, $CH \perp AB$. За умовою $CH=12$ см, а відрізки $AH$ та $HB$ відносяться як $4\ :9$.
Нехай $AH=4x$, тоді $HB=9x$.
За властивістю перпендикуляра, проведеного з точки кола до діаметра:
$CH^{2}=AH\cdot HB$
Підставимо значення:
$12^{2}=4x\cdot9x$
$144=36x^{2}$
$x^{2}=4$
$x=2$
Отже, $AH=4\cdot2=8$ (см), $HB=9\cdot2=18$ (см).
Діаметр кола $AB=AH+HB=8+18=26$ (см).
Радіус кола $R=\frac{AB}{2}=\frac{26}{2}=13$ (см).
Площа круга $S=\pi R^{2}$:
$S=\pi\cdot13^{2}=169\pi\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$169\pi$ см$^{2}$.