№ 33.15 Геометрія = № 59.15 Математика
Кут між векторами $\overrightarrow{a}$ і $\overrightarrow{b}$ дорівнює $60^{\circ}$, $|\overrightarrow{a}|=2$, $|\overrightarrow{b}|=3$. Знайдіть $|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$.
Розв’язок:
Використаємо властивість модуля вектора: $|\overrightarrow{v}|^{2}={\overrightarrow{v}}^{2}$.
$|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^{2}=(4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}=$
$=16{\overrightarrow{a}}^{2}-8\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$
Обчислимо скалярні квадрати та скалярний добуток:
${\overrightarrow{a}}^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}=2^{2}=4$
${\overrightarrow{b}}^{2}=|\overrightarrow{b}|^{2}=3^{2}=9$
$\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot\left| \overrightarrow{b} \right|\cdot cos60^{\circ}=$
$=2\cdot3\cdot0{,}5=3$
Підставимо значення у вираз:
$|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|^{2}=16\cdot4-8\cdot3+9=$
$=64-24+9=49$
$|4\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{49}=7$
Відповідь:
$7$.