№ 10 ВПР 6 Геометрія = № 10 ВПТ 11 Математика
$AB$ — перпендикуляр до площини $\alpha$, $AC$ — похила (мал. 2). Знайдіть:
1) $AB$ і $BC$, якщо $AC=15$ см, $AB\ :BC=4\ :3$;
2) $AB$ і $BC$, якщо $AC=13$ см, $AB+BC=17$ см.
Розв’язок:
Оскільки $AB \perp \alpha$ і $BC \subset \alpha$, то $AB \perp BC$. Отже, $\bigtriangleup ABC$ — прямокутний з гіпотенузою $AC$ ($\angle B=90^{\circ}$).
1) Нехай $AB=4x$, $BC=3x$. За теоремою Піфагора:
$AB^{2}+BC^{2}=AC^{2}$
$(4x)^{2}+(3x)^{2}=15^{2}$
$16x^{2}+9x^{2}=225$
$25x^{2}=225$
$x^{2}=9$
$x=3$
Отже, $AB=4\cdot3=12$ (см), $BC=3\cdot3=9$ (см).
2) За теоремою Піфагора $AB^{2}+BC^{2}=13^{2}=169$.
За умовою $AB+BC=17$, звідки $BC=17-AB$.
Підставимо у рівняння:
$AB^{2}+(17-AB)^{2}=169$
$AB^{2}+289-34AB+AB^{2}=169$
$2AB^{2}-34AB+120=0$
$AB^{2}-17AB+60=0$
За теоремою Вієта:
$AB_{1}+AB_{2}=17$
$AB_{1}\cdot AB_{2}=60$
Корені рівняння: $AB=12$ або $AB=5$.
Якщо $AB=12$ см, то $BC=17-12=5$ см.
Якщо $AB=5$ см, то $BC=17-5=12$ см.
Відповідь:
1) $12$ см, $9$ см;
2) $12$ см, $5$ см або $5$ см, $12$ см.