№ 12 ВПР 6 Геометрія = № 12 ВПТ 11 Математика
Із точки до площини проведено дві похилі, довжини яких відносяться як $3\ :4$. Знайдіть довжини похилих та відстань від точки до площини, якщо проєкції похилих дорівнюють $9$ см і $16$ см.
Розв’язок:
Нехай $h$ — відстань від точки до площини, $l_{1}$ та $l_{2}$ — довжини похилих, $p_{1}=9$ см та $p_{2}=16$ см — їхні проєкції.
За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників, утворених перпендикуляром, похилою та її проєкцією:
$l_{1}^{2}=h^{2}+p_{1}^{2}=h^{2}+9^{2}=$
$=h^{2}+81$
$l_{2}^{2}=h^{2}+p_{2}^{2}=h^{2}+16^{2}=$
$=h^{2}+256$
За умовою задачі $l_{1}\ :l_{2}=3\ :4$, отже $\frac{l_{1}^{2}}{l_{2}^{2}}=\frac{3^{2}}{4^{2}}=\frac{9}{16}$.
Складемо рівняння:
$\frac{h^{2}+81}{h^{2}+256}=\frac{9}{16}$
$16(h^{2}+81)=9(h^{2}+256)$
$16h^{2}+1296=9h^{2}+2304$
$7h^{2}=1008$
$h^{2}=144$
$h=12$ (см)
Знайдемо довжини похилих:
$l_{1}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{144+81}=$
$=\sqrt{225}=15$ (см)
$l_{2}=\sqrt{12^{2}+16^{2}}=\sqrt{144+256}=$
$=\sqrt{400}=20$ (см)
Відповідь:
$15$ см, $20$ см, $12$ см.