№ 14 ВПР 6 Геометрія = № 14 ВПТ 11 Математика
Точка перетину діагоналей паралелограма розміщена на відстані $7$ см від площини $\alpha$, яка не перетинає площину паралелограма. Дві вершини паралелограма розміщені на відстанях $5$ см і $11$ см від площини $\alpha$. На яких відстанях від площини $\alpha$ розміщені дві інші вершини паралелограма?
Розв’язок:
Нехай $O$ — точка перетину діагоналей паралелограма $ABCD$. Оскільки діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл, то $O$ є серединою відрізків $AC$ та $BD$.
Опустимо з кожної вершини паралелограма та з точки $O$ перпендикуляри на площину $\alpha$: $AA'=\ 5$ см, $BB'=\ 11$ см, $OO'=\ 7$ см (за умовою), $CC'=?$, $DD'=?$ — шукані.
Оскільки $AA'\bot\alpha$ і $CC'\bot\alpha$, то $AA' \parallel CC'$. У трапеції $AA'C'C$ (з паралельними бічними сторонами $AA'\ і\ CC'$) відрізок $OO'$ — середня лінія (бо $O$ — середина $AC$, а $O'$ — середина $A'C'$).
За властивістю середньої лінії трапеції:
$OO'=\frac{AA'+CC'}{2}$
$7=\frac{5+CC'}{2}$
$CC'=14-5=9\text{ (см)}$
Аналогічно для діагоналі $BD$ (у трапеції $BB'D'D$):
$OO'=\frac{BB'+DD'}{2}$
$7=\frac{11+DD'}{2}$
$DD'=14-11=3\text{ (см)}$
Відповідь:
$9$ см і $3$ см.