№ 34 ВПР 6 Геометрія = № 34 ВПТ 11 Математика
В основі піраміди лежить ромб, сторона якого дорівнює $30$ см, а діагоналі відносяться як $3\ :4$. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її висота дорівнює $9$ см.
Розв’язок:
Нехай діагоналі ромба дорівнюють $d_{1}=3x$ та $d_{2}=4x$.
Оскільки діагоналі ромба взаємно перпендикулярні та точкою перетину діляться навпіл, вони утворюють чотири прямокутні трикутники з катетами $\frac{3x}{2}=1{,}5x$ та $\frac{4x}{2}=2x$.
Гіпотенузою цих трикутників є сторона ромба $a=30$ см.
За теоремою Піфагора:
$(1{,}5x)^{2}+(2x)^{2}=30^{2}$
$2{,}25x^{2}+4x^{2}=900$
$6{,}25x^{2}=900$
$x^{2}=144$
$x=12$
Отже, діагоналі ромба:
$d_{1}=3\cdot12=36$ (см)
$d_{2}=4\cdot12=48$ (см)
Площа основи (ромба) $S_{\text{осн}}$:
$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot d_{1}\cdot d_{2}=$
$=\frac{1}{2}\cdot36\cdot48=18\cdot48=864\text{ (см}^{2}\text{)}$
Об’єм піраміди $V$:
$V=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{осн}}\cdot h=$
$=\frac{1}{3}\cdot864\cdot9=864\cdot3=2592\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$2592$ см$^{3}$.