№ 35 ВПР 6 Геометрія = № 35 ВПТ 11 Математика
Знайдіть площу повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, апофема якої дорівнює $8$ см, а бічне ребро — $10$ см.
Розв’язок:
Нехай $a$ — сторона основи піраміди, $l=8$ см — апофема, $b=10$ см — бічне ребро.
У бічній грані (рівнобедреному трикутнику) апофема є висотою, проведеною до сторони основи. За теоремою Піфагора для прямокутного трикутника, утвореного апофемою, половиною сторони основи та бічним ребром:
$(\frac{a}{2})^{2}+l^{2}=b^{2}$
$(\frac{a}{2})^{2}+8^{2}=10^{2}$
$(\frac{a}{2})^{2}+64=100$
$(\frac{a}{2})^{2}=36$
$\frac{a}{2}=6$
$a=12\text{ (см)}$
Площа основи піраміди:
$S_{\text{осн}}=a^{2}=12^{2}=144\text{ (см}^{2}\text{)}$
Площа бічної поверхні піраміди:
$S_{\text{біч}}=4\cdot\left( \frac{1}{2}\cdot a\cdot l \right)=$
$=2\cdot a\cdot l=2\cdot12\cdot8=192\text{ (см}^{2}\text{)}$
Площа повної поверхні:
$S_{\text{повн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{біч}}=$
$=144+192=336\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$336$ см$^{2}$.