№ 36 ВПР 6 Геометрія = № 36 ВПТ 11 Математика
Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює $4$ см, а бічне ребро — $5$ см. Знайдіть об’єм піраміди та площу бічної поверхні.
Розв’язок:
1) Знайдемо площу основи $S_{\text{осн}}$. Основою піраміди є правильний шестикутник зі стороною $a=4$ см. Його площа обчислюється за формулою:
$S_{\text{осн}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot4^{2}=$
$=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot16=24\sqrt{3}\text{ (см}^{2}\text{)}$
2) Знайдемо висоту піраміди $H$. У правильній шестикутній піраміді відстань від центра основи до вершини шестикутника дорівнює стороні основи ($R=a=4$ см). Розглянемо прямокутний трикутник, утворений висотою піраміди, радіусом описаного навколо основи кола та бічним ребром:
$H^{2}+R^{2}=l^{2}$
$H^{2}+4^{2}=5^{2}$
$H^{2}=25-16=9$
$H=3\text{ (см)}$
3) Знайдемо об’єм піраміди $V$:
$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}\cdot H=$
$=\frac{1}{3}\cdot24\sqrt{3}\cdot3=24\sqrt{3}{\text{ (}\text{см}}^{3}\text{)}$
4) Знайдемо площу бічної поверхні $S_{\text{біч}}$. Бічна поверхня складається з $6$ рівних рівнобедрених трикутників зі сторонами $5$ см, $5$ см та основою $4$ см. Знайдемо апофему $h_{a}$ (висоту бічної грані):
$h_{a}^{2}+\left( \frac{a}{2} \right)^{2}=l^{2}$
$h_{a}^{2}+2^{2}=5^{2}$
$h_{a}^{2}=25-4=21$
$h_{a}=\sqrt{21}\text{ (см)}$
Площа однієї бічної грані:
$S_{\text{гр}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h_{a}=$
$=\frac{1}{2}\cdot4\cdot\sqrt{21}=2\sqrt{21}{\text{ (}\text{см}}^{2}\text{)}$
Площа бічної поверхні:
$S_{\text{біч}}=6\cdot S_{\text{гр}}=$
$=6\cdot2\sqrt{21}=12\sqrt{21}\text{ (см}^{2}\text{)}$
Відповідь:
$24\sqrt{3}$ см$^{3}$, $12\sqrt{21}$ см$^{2}$.