№ 49 ВПР 6 Геометрія = № 49 ВПТ 11 Математика
Повна поверхня конуса дорівнює $588\pi$ см$^{2}$. Знайдіть об’єм конуса, якщо його твірна дорівнює $37$ см.
Розв’язок:
Повна поверхня конуса обчислюється за формулою:
$S_{\text{повн}}=\pi R(R+l)$
Підставимо відомі значення ($S_{\text{повн}}=588\pi$, $l=37$):
$588\pi=\pi R(R+37)$
$588=R^{2}+37R$
$R^{2}+37R-588=0$
Розв’яжемо квадратне рівняння:
$D=37^{2}-4\cdot1\cdot(-588)=$
$=1369+2352=3721$
$\sqrt{D}=61$
$R_{1}=\frac{-37+61}{2}=12$
$R_{2}=\frac{-37-61}{2}=-49$ (не задовольняє умову, бо $R>0$)
Отже, радіус основи $R=12$ см.
Знайдемо висоту конуса $h$ з прямокутного трикутника, утвореного висотою, радіусом і твірною:
$h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}=\sqrt{37^{2}-12^{2}}=$
$=\sqrt{(37-12)(37+12)}=$
$=\sqrt{25\cdot49}=5\cdot7=35\text{ (см)}$
Об’єм конуса:
$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi\cdot12^{2}\cdot35=$
$=\frac{1}{3}\pi\cdot144\cdot35=$
$=48\cdot35\cdot\pi=1680\pi\text{ (см}^{3}\text{)}$
Відповідь:
$1680\pi$ см$^{3}$.