№ 10 ЗПС = № 10 ЗПС
Доведіть, що відстань від точки $A(x_{0};y_{0})$ до прямої $ax+by+c=0$ можна знайти за формулою:
$d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Розв’язок:
$AK \perp l$; $K(x_{1};y_{1})$, тоді
$AK=\sqrt{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}$ (1)
Якщо $b=0$, то пряма $x=-\frac{c}{a}$ паралельна осі $y$ і $d=\left| x_{0}+\frac{c}{a} \right|=\frac{|ax_{0}+c|}{|a|}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
Якщо $a=0$, то пряма $y=-\frac{c}{b}$ паралельна осі $x$ і $d=\left| y_{0}+\frac{c}{b} \right|=\frac{|by_{0}+c|}{|b|}=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$.
Далі вважаємо, що $a\neq0$ і $b\neq0$.
Рівняння даної прямої $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$, тоді рівняння $AK$: $y=\frac{-1}{-a/b}x+p$ або $y=\frac{b}{a}x+p$.
Оскільки ця пряма проходить через т. $(x_{0};y_{0})$, то $p=y_{0}-\frac{b}{a}x_{0}$. Отже, рівняння прямої $AK$ має вигляд: $y=\frac{b}{a}x+y_{0}-\frac{b}{a}x_{0}$ або $y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0})$; $a(y-y_{0})-b(x-x_{0})=0$.
Точка $K$ — спільна точка даної прямої і прямої $AK$, тому є розв’язком системи рівнянь:
$\begin{cases} ax+by+c=0 \\ a(y-y_{0})-b(x-x_{0})=0 \end{cases}$
$\begin{cases} ax+by+c=0 \\ ay-ay_{0}-bx+bx_{0}=0 \end{cases}$
$a\cdot\frac{ay-ay_{0}+bx_{0}}{b}+by+c=0$
$x=\frac{ay-ay_{0}+bx_{0}}{b}$ (2)
Розв’яжемо перше рівняння відносно $y$:
$\frac{a^{2}}{b}y-\frac{a^{2}}{b}y_{0}+ax_{0}+by+c=0$
$\frac{a^{2}+b^{2}}{b}y=\frac{a^{2}y_{0}}{b}-ax_{0}-c$
$y=\left( \frac{a^{2}y_{0}}{b}-ax_{0}-c \right)\cdot\frac{b}{a^{2}+b^{2}}$
$y=\frac{a^{2}y_{0}-abx_{0}-cb}{a^{2}+b^{2}}$
Знайдемо значення $x$, підставляючи знайдене значення $y$ у рівняння (2):
$x=\frac{a(a^{2}y_{0}-abx_{0}-cb)}{b(a^{2}+b^{2})}-\frac{a}{b}y_{0}+x_{0}=$
$=\frac{a^{3}y_{0}-a^{2}bx_{0}-abc-a^{3}y_{0}-ab^{2}y_{0}}{b(a^{2}+b^{2})}+x_{0}=$
$=x_{0}-\frac{a(ax_{0}+by_{0}+c)}{a^{2}+b^{2}}=$
$=\frac{b^{2}x_{0}-ac-aby_{0}}{a^{2}+b^{2}}$
Отже,
т. $K\left( \frac{b^{2}x_{0}-ac-aby_{0}}{a^{2}+b^{2}};\frac{a^{2}y_{0}-abx_{0}-cb}{a^{2}+b^{2}} \right)$
Підставимо ці значення в рівняння (1):
$x_{1}-x_{0}=\frac{b^{2}x_{0}-ac-aby_{0}}{a^{2}+b^{2}}-x_{0}=-\frac{a(ax_{0}+by_{0}+c)}{a^{2}+b^{2}}$
$y_{1}-y_{0}=\frac{a^{2}y_{0}-abx_{0}-cb}{a^{2}+b^{2}}-y_{0}=-\frac{b(ax_{0}+by_{0}+c)}{a^{2}+b^{2}}$
$AK=\sqrt{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}=$
$=\sqrt{\frac{a^{2}(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}+b^{2}(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}=$
$=\sqrt{\frac{(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}\cdot(a^{2}+b^{2})}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}=$
$=\sqrt{\frac{(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=$
$=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Відповідь:
Доведено.