№ 9 ЗПС = № 9 ЗПС
Знайдіть точку перетину прямої $4x-5y+3=0$ з перпендикуляром, проведеним до неї з точки $A(-6;4)$.
Розв’язок:
Нехай шукана точка має координати $B(a;b)$, тоді пряма $AB$ задається рівнянням:
$\frac{x+6}{a+6}=\frac{y-4}{b-4}$
$(b-4)(x+6)=(a+6)(y-4)$
$(b-4)x+6b-24=(a+6)y-4a-24$
$(a+6)y=(b-4)x+6b+4a$
$y=\frac{b-4}{a+6}x+\frac{6b+4a}{a+6}$
Ця пряма перпендикулярна до прямої $4x-5y+3=0$, яку можна записати як $y=0{,}8x+0{,}6$.
За умовою перпендикулярності прямих ($k_{1}\cdot k_{2}=-1$):
$0{,}8\cdot\frac{b-4}{a+6}=-1$
$0{,}8(b-4)=-(a+6)$
$0{,}8b-3{,}2=-a-6$
$a=-0{,}8b-2{,}8$
Точка $B$ належить даній прямій $4x-5y+3=0$, тому підставимо координати точки $B(a;b)$ у рівняння прямої:
$4(-0{,}8b-2{,}8)-5b+3=0$
$-3{,}2b-11{,}2-5b+3=0$
$-8{,}2b-8{,}2=0$
$-8{,}2b=8{,}2$
$b=-1$
Знайдемо $a$:
$a=-0{,}8\cdot(-1)-2{,}8=0{,}8-2{,}8=-2$
Отже, $(-2;-1)$ — шукана точка.
Відповідь:
$(-2;-1)$.