№ 12 ЗПС = № 12 ЗПС
Точка $A(x_{0};y_{0})$ лежить на колі $x^{2}+y^{2}=r^{2}$. Складіть рівняння дотичної до кола, що проходить через точку $A$.
Розв’язок:
$O(0;0)$, $O$ — центр кола; $r=OA=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}$. Рівняння прямої, яка містить радіус $OA$, має вигляд:
$\frac{x-x_{0}}{-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{-y_{0}}$
$xy_{0}-x_{0}y_{0}=x_{0}y-x_{0}y_{0}$
звідси
$y=\frac{y_{0}}{x_{0}}\cdot x$
Дотична до кола, що проходить через точку $A$, перпендикулярна до $OA$, тому рівняння дотичної має загальний вигляд:
$y=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\cdot x+b$
Ця дотична проходить через точку $A(x_{0};y_{0})$, тому
$y_{0}=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\cdot x_{0}+b$
$b=y_{0}+\frac{x_{0}^{2}}{y_{0}}$
Отже, рівняння дотичної:
$y=-\frac{x_{0}}{y_{0}}\cdot x+\frac{x_{0}^{2}}{y_{0}}+y_{0}$
або
$x_{0}x-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}+y_{0}y=0$
$x_{0}x+y_{0}y-(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})=0$
$x_{0}x+y_{0}y-r^{2}=0$
або
$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$
Відповідь:
$x_{0}x+y_{0}y=r^{2}$.