№ 14 ЗПС = № 14 ЗПС
Точка $A(1;0)$ лежить на колі із центром у початку координат і є вершиною правильного трикутника, вписаного в це коло. Знайдіть координати двох інших вершин трикутника.
Розв’язок:
Нехай $B(x_{1};y_{1})$ і $C(x_{2};y_{2})$ — вершини трикутника.
Оскільки трикутник правильний і вписаний у коло, центральні кути між вершинами рівні:
$\angle AOB=\angle AOC=\angle COB=120^{\circ}$
Розглянемо прямокутний трикутник $BOP$, де $P$ — проекція точки $B$ на вісь $x$. Гіпотенуза $OB=R=1$.
Кут $\angle BOP=180^{\circ}-\angle BOA=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$.
З прямокутного трикутника $BOP$:
$|OP|=|OB|\cdot cos60^{\circ}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$|BP|=|OB|\cdot sin60^{\circ}=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
Враховуючи, що $B$ лежить у II координатній чверті, її координати: $B\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
Точка $C$ симетрична точці $B$ відносно осі абсцис, тому її координати: $C\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
Відповідь:
$B\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$, $C\left(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.