№ 15 ЗПС = № 15 ЗПС
Складіть рівняння кола радіуса $10$, що дотикається до кола $x^{2}+y^{2}-10y=0$ у точці $A(3;1)$.
Розв’язок:
$x^{2}+y^{2}-10y=0$
$x^{2}+(y^{2}-10y+25)=25$
$x^{2}+(y-5)^{2}=5^{2}$ — коло з центром $O(0;5)$, $R=5$.
Якщо кола дотикаються внутрішнім дотиком, то центр кола з радіусом $10$ лежить на даному колі. Центри кіл і точка дотику лежать на одній прямій. $10=5+5$.
$O_{1}$ — центр кола з радіусом $10$ — симетричний точці дотику $A$ відносно $O$.
$O_{1}(2\cdot0-3;2\cdot5-1)$ або $O_{1}(-3;9)$.
Тоді це коло задається рівнянням:
$(x+3)^{2}+(y-9)^{2}=100$
Якщо кола дотикаються зовнішнім дотиком, то центр $O_{2}$ симетричний $O_{1}$ відносно точки $A$.
$O_{2}(2\cdot3-(-3);2\cdot1-9)$ або $O_{2}(9;-7)$.
Рівняння цього кола має вигляд:
$(x-9)^{2}+(y+7)^{2}=100$
Відповідь:
$(x+3)^{2}+(y-9)^{2}=100$ або $(x-9)^{2}+(y+7)^{2}=100$.