№ 16 ЗПС = № 16 ЗПС
За яких значень $k$ пряма $y=kx-5$ і коло $x^{2}+y^{2}=9$:
1) мають одну спільну точку;
2) мають дві спільні точки;
3) не мають спільних точок?
Розв’язок:
Спільні точки прямої і кола можна знайти, розв’язавши систему рівнянь:
$\begin{cases} y=kx-5 \\ x^{2}+y^{2}=9 \end{cases}$
$x^{2}+(kx-5)^{2}=9$
Якщо система має $1$ розв’язок, то коло і пряма мають $1$ спільну точку; якщо $2$ розв’язки — $2$ точки; немає розв’язків — немає спільних точок.
$x^{2}+(kx-5)^{2}=9$
$x^{2}+k^{2}x^{2}-10kx+25=9$
$x^{2}(1+k^{2})-10kx+16=0$
$\frac{D}{4}=(5k)^{2}-16(1+k^{2})=$
$=25k^{2}-16-16k^{2}=9k^{2}-16$
Якщо $\frac{D}{4}=0$, тобто $9k^{2}-16=0$; $k^{2}=\frac{16}{9}$;
$k=\pm\frac{4}{3}$, то пряма і коло мають $1$ спільну точку.
Якщо $\frac{D}{4}>0$, $9k^{2}-16>0$; $k^{2}>\frac{16}{9}$; $k>\frac{4}{3}$ і $k<-\frac{4}{3}$,
то пряма і коло мають $2$ спільні точки.
Якщо $\frac{D}{4}<0$, $9k^{2}-16<0$; $k^{2}<\frac{16}{9}$;
$-\frac{4}{3}<k<\frac{4}{3}$, то пряма і коло не мають спільних точок.
Відповідь:
1) $k=\pm\frac{4}{3}$; 2) $k<-\frac{4}{3}$ або $k>\frac{4}{3}$; 3) $-\frac{4}{3}<k<\frac{4}{3}$.