№ 17 ЗПС = № 17 ЗПС
З точки $A(1;6)$ до кола $x^{2}+y^{2}+2x-19=0$ проведено дотичні. Складіть рівняння цих дотичних.
Розв’язок:
Перетворимо рівняння кола:
$x^{2}+y^{2}+2x-19=0$
$(x^{2}+2x+1)+y^{2}=20$
$(x+1)^{2}+y^{2}=20$
Отже, коло має центр у точці $(-1;0)$ і радіус $R=\sqrt{20}$.
Нехай $K(x;y)$ — точка дотику. Оскільки $AK$ — дотична, то $AK \perp OK$.
Відстань від точки $A(1;6)$ до точки $K(x;y)$ дорівнює довжині дотичної $AK$.
З прямокутного трикутника $OKA$:
$OA^{2}=(1-(-1))^{2}+(6-0)^{2}=$
$=2^{2}+6^{2}=4+36=40$
$AK^{2}=OA^{2}-OK^{2}=40-20=20$
Точка $K(x;y)$ задовольняє систему рівнянь:
$\begin{cases} (x-1)^{2}+(y-6)^{2}=20 \\ (x+1)^{2}+y^{2}=20 \end{cases}$
Розкриємо дужки:
$\begin{cases} x^{2}-2x+1+y^{2}-12y+36=20 \\ x^{2}+2x+1+y^{2}=20 \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}-2x-12y+17=0 \\ x^{2}+y^{2}+2x-19=0 \end{cases}$
Віднімемо друге рівняння від першого:
$(x^{2}+y^{2}-2x-12y+17)-(x^{2}+y^{2}+2x-19)=0$
$-4x-12y+36=0$
$x+3y=9$
$x=9-3y$
Підставимо $x=9-3y$ у рівняння $(x+1)^{2}+y^{2}=20$:
$(9-3y+1)^{2}+y^{2}=20$
$(10-3y)^{2}+y^{2}=20$
$100-60y+9y^{2}+y^{2}=20$
$10y^{2}-60y+80=0$
$y^{2}-6y+8=0$
За теоремою Вієта:
$y_{1}=2,y_{2}=4$
Знайдемо відповідні значення $x$:
Якщо $y_{1}=2$, то $x_{1}=9-3\cdot2=3$. Точка $K_{1}(3;2)$.
Якщо $y_{2}=4$, то $x_{2}=9-3\cdot4=-3$. Точка $K_{2}(-3;4)$.
Складемо рівняння дотичних:
1) Дотична $AK_{1}$ проходить через точки $A(1;6)$ та $K_{1}(3;2)$:
$\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-6}{2-6}$
$\frac{x-1}{2}=\frac{y-6}{-4}$
$-4(x-1)=2(y-6)$
$-4x+4=2y-12$
$4x+2y-16=0$
$2x+y-8=0$
2) Дотична $AK_{2}$ проходить через точки $A(1;6)$ та $K_{2}(-3;4)$:
$\frac{x-1}{-3-1}=\frac{y-6}{4-6}$
$\frac{x-1}{-4}=\frac{y-6}{-2}$
$-2(x-1)=-4(y-6)$
$-2x+2=-4y+24$
$2x-4y+22=0$
$x-2y+11=0$
Відповідь:
$2x+y-8=0$ та $x-2y+11=0$.