№ 18 ЗПС = № 18 ЗПС
Складіть рівняння дотичних до кола $x^{2}+y^{2}+10x-2y+6=0$, що паралельні прямій $2x+y-7=0$.
Розв’язок:
Дотична до кола паралельна прямій $2x+y-7=0$ або $y=-2x+7$, тоді її загальний вигляд: $y=-2x+b$.
Ця пряма з колом має $1$ спільну точку. Знайдемо її:
$\begin{cases} x^{2}+y^{2}+10x-2y+6=0 \\ y=-2x+b \end{cases}$
$\begin{cases} x^{2}+(-2x+b)^{2}+10x-2(-2x+b)+6=0 \\ y=-2x+b \end{cases}$
$x^{2}+4x^{2}-4xb+b^{2}+10x+4x-2b+6=0$
$5x^{2}+(14-4b)x+(b^{2}-2b+6)=0$
$D\text{/}4=(7-2b)^{2}-5(b^{2}-2b+6)=$
$=49-28b+4b^{2}-5b^{2}+10b-30=$
$=-b^{2}-18b+19$
Система має єдиний розв’язок, коли $-b^{2}-18b+19=0$ або $b^{2}+18b-19=0$.
$b=1$ або $b=-19$.
Тоді рівняння дотичних:
1) $y=-2x+1$ або $2x+y-1=0$;
2) $y=-2x-19$ або $2x+y+19=0$.
Відповідь:
$2x+y-1=0$, $2x+y+19=0$.