№ 19 ЗПС = № 19 ЗПС
На колі $x^{2}+y^{2}-26x+30y+313=0$ знайдіть найближчу до точки $A(3;9)$ точку $B$. Знайдіть відстань від точки $A$ до точки $B$.
Розв’язок:
$x^{2}+y^{2}-26x+30y+313=0$
$\left( x^{2}-26x+169 \right)+\left( y^{2}+30y+225 \right)=$
$=-313+169+225$
$(x-13)^{2}+(y+15)^{2}=81$ — коло з центром $O(13;-15)$ та радіусом $R=9$.
Шукана точка $B$ — точка перетину кола і відрізка $OA$. Оскільки $B$ лежить на колі, то $OB=R=9$.
Знайдемо відстань $AO$:
$AO=\sqrt{(13-3)^{2}+(-15-9)^{2}}=$
$=\sqrt{10^{2}+(-24)^{2}}=$
$=\sqrt{100+576}=\sqrt{676}=26$
Тоді $AB=AO-BO=26-9=17$.
Точка $B$ ділить відрізок $AO$ у відношенні $AB\ :BO=17\ :9$.
Знайдемо координати точки $B$ за формулою поділу відрізка у заданому відношенні $k=\frac{17}{9}$:
$x_{B}=\frac{x_{A}+k\cdot x_{O}}{1+k}=$
$=\frac{3+\frac{17}{9}\cdot13}{1+\frac{17}{9}}=\frac{\frac{27+221}{9}}{\frac{26}{9}}=$
$=\frac{248}{26}=\frac{124}{13}=9\frac{7}{13}$
$y_{B}=\frac{y_{A}+k\cdot y_{O}}{1+k}=$
$=\frac{9+\frac{17}{9}\cdot(-15)}{1+\frac{17}{9}}=\frac{\frac{81-255}{9}}{\frac{26}{9}}=$
$=\frac{-174}{26}=-\frac{87}{13}=-6\frac{9}{13}$
Отже, $B\left( 9\frac{7}{13};-6\frac{9}{13} \right)$.
Відповідь:
Точка $B\left( 9\frac{7}{13};-6\frac{9}{13} \right)$, відстань $AB=17$.