№ 20 ЗПС = № 20 ЗПС
Якого найменшого значення може набувати вираз $\sqrt{x^{2}+y^{2}-6x+8y+25}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x-4y+5}$?
Розв’язок:
$\sqrt{x^{2}+y^{2}-6x+8y+25}+\sqrt{x^{2}+y^{2}+2x-4y+5}=$
$=\sqrt{(x^{2}-6x+9)+(y^{2}+8y+16)}+\sqrt{(x^{2}+2x+1)+(y^{2}-4y+4)}=$
$=\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}+\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}$.
$\sqrt{(x-3)^{2}+(y+4)^{2}}$ — відстань від точки $K(x;y)$ до т. $A(3;-4)$.
$\sqrt{(x+1)^{2}+(y-2)^{2}}$ — відстань від точки $K(x;y)$ до т. $B(-1;2)$.
$AK+KB$ буде найменшою, коли $K \in AB$, тоді ця сума дорівнює довжині відрізка $AB$.
$AB=\sqrt{(-1-3)^{2}+(2+4)^{2}}=$
$=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$.
Відповідь:
$2\sqrt{13}$.