№ 22 ЗПС = № 22 ЗПС
Дано два паралелограми $ABCD$ і $AB_{1}C_{1}D_{1}$, які мають спільну вершину $A$. Доведіть, що $CC_{1}\leq BB_{1}+DD_{1}$.
Розв’язок:
За правилом паралелограма:
$\overrightarrow{AC_{1}}=\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{AD_{1}}$
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
Знайдемо вектор $\overrightarrow{CC_{1}}$:
$\overrightarrow{CC_{1}}=\overrightarrow{AC_{1}}-\overrightarrow{AC}=$
$=(\overrightarrow{AB_{1}}+\overrightarrow{AD_{1}})-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=$
$=(\overrightarrow{AB_{1}}-\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{AD_{1}}-\overrightarrow{AD})=$
$=\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}$
Отже, $CC_{1}=|\overrightarrow{CC_{1}}|=|\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}|$.
За нерівністю трикутника:
$|\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{DD_{1}}|\leq|\overrightarrow{BB_{1}}|+|\overrightarrow{DD_{1}}|=BB_{1}+DD_{1}$
Таким чином, $CC_{1}\leq BB_{1}+DD_{1}$.
Що й треба було довести.