№ 24 ЗПС = № 24 ЗПС
Через точку $O$ перетину діагоналей $AC$ і $BD$ трапеції $ABCD$ ($AB \parallel CD$) проведено пряму, паралельну основам, яка перетинає бічні сторони $AD$ і $BC$ у точках $M$ і $N$. Доведіть, що $\overrightarrow{MN}=\frac{b\overrightarrow{AB}+a\overrightarrow{DC}}{a+b}$, де $AB=a,CD=b$.
Розв’язок:
$\bigtriangleup ABO \sim \bigtriangleup CDO$ ($\angle ABO=\angle CDO$ як внутрішні різносторонні при $AB \parallel CD$ і січній $BD$, $\angle AOB=\angle COD$ як вертикальні), тому $\frac{BO}{DO}=\frac{AB}{CD}=\frac{a}{b}$.
$\bigtriangleup ADB \sim \bigtriangleup MDO$, звідси:
$\frac{AB}{MO}=\frac{DB}{DO}=\frac{DO+BO}{DO}=$
$=1+\frac{BO}{DO}=1+\frac{a}{b}$
$\frac{AB}{MO}=\frac{a+b}{b}$
або
$\frac{MO}{AB}=\frac{b}{a+b}\quad(1)$
Вектори $\overrightarrow{MO}$ і $\overrightarrow{AB}$ співнапрямлені (обидва напрямлені від бічної сторони $AD$ до бічної сторони $BC$).
З рівності (1): $\overrightarrow{MO}$ становить від $\overrightarrow{AB}$ $\frac{b}{a+b}$ частину.
$\overrightarrow{MO}=\frac{b}{a+b}\cdot\overrightarrow{AB}$
Аналогічно:
$\overrightarrow{ON}=\frac{a}{a+b}\cdot\overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{ON}=$
$=\frac{b\cdot\overrightarrow{AB}}{a+b}+\frac{a\cdot\overrightarrow{DC}}{a+b}=$
$=\frac{b\cdot\overrightarrow{AB}+a\cdot\overrightarrow{DC}}{a+b}$
Що й треба було довести.